傅立葉變換是眾多學(xué)科中常用的一個工具，物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、工程師和計算機(jī)科學(xué)家都對其情有獨鐘。這個工具功能強(qiáng)大，不過使用起來卻頗為復(fù)雜。在Python語言中實現(xiàn)傅立葉變換，既是一項挑戰(zhàn)，也帶來了不少樂趣。

傅立葉變換的地位和意義

傅立葉變換在多個科學(xué)領(lǐng)域都至關(guān)重要。在物理學(xué)中，特別是在信號處理方面，它的應(yīng)用十分廣泛。工程領(lǐng)域在分析復(fù)雜系統(tǒng)時，也高度依賴它。許多工程師在處理復(fù)雜信號時，都借助了傅立葉變換。此外，計算機(jī)科學(xué)家在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理、圖像識別等算法研究時，也會用到它。在眾多大型項目中，它的作用顯而易見。它就像一把萬能鑰匙，能夠打開眾多解決問題的門。同時，隨著科技的發(fā)展，越來越多的研究和項目都迫切需要它的支持。

?當(dāng)函數(shù)及其傅立葉變換都被離散化的對應(yīng)物所取代時，這被稱為離散傅立葉變換（DFT）。離散傅立葉變換由于計算它的一種非常快速的算法而成為數(shù)值計算的重要工具，這個算法被稱為快速傅立葉變換（FFT），這個算法最早由高斯（1805年）發(fā)現(xiàn)，我們現(xiàn)在使用的形式是由Cooley和Tukey公開的

定義相關(guān)函數(shù)

必須先明確傅立葉變換及其逆變換的函數(shù)定義。這些定義對復(fù)數(shù)函數(shù)的積分方式有明確規(guī)定，構(gòu)成了傅立葉變換和逆變換的基礎(chǔ)。這些公式并不簡單，它們是計算實施的核心。在實際應(yīng)用中，這些定義如同游戲規(guī)則，必須嚴(yán)格遵守。無論是學(xué)術(shù)研究還是實際工程計算，每個人都必須按照這些定義進(jìn)行計算。只有準(zhǔn)確理解，后續(xù)操作才能做到準(zhǔn)確無誤。

數(shù)值計算的困境與離散化需求

數(shù)值計算那些積分挺復(fù)雜的。尤其在高維度的情形中，問題會更明顯。這時，離散化變得特別重要。離散化就像是把一個大問題拆成幾個小問題來解決。這樣原本復(fù)雜且難以處理的問題就變得簡單些了。比如在處理大量數(shù)據(jù)時，離散化能將原本難以處理的計算分解成幾個小部分，方便計算機(jī)操作和計算，從而提高效率。

離散傅立葉變換的關(guān)鍵

Numpy的文檔提到，離散傅立葉變換是數(shù)值計算傅立葉分析的基礎(chǔ)。這種變換有其特定的計算方式。在實施過程中，對序列和變量進(jìn)行采樣等步驟至關(guān)重要。在眾多實時信號處理的應(yīng)用場景中，數(shù)據(jù)不斷更新變化，因此，快速進(jìn)行離散傅立葉變換變得極為重要。它能快速處理所收集的數(shù)據(jù)，并給出有價值的信息。比如，在醫(yī)療設(shè)備監(jiān)測人體生理信號時，這種高效的計算方式能確保及時獲得準(zhǔn)確的結(jié)果。

Python實現(xiàn)與驗證

在Python編程中，啟動個人編寫代碼的實踐非常關(guān)鍵。舉個例子，先對某個特定函數(shù)進(jìn)行傅立葉變換的計算，然后繪制出相應(yīng)的圖形。在這個過程中，可以檢查自己實現(xiàn)的效果。比如，通過對比不同取值范圍的結(jié)果，比如采樣值和連續(xù)體上的解。此外，還要檢查傅立葉逆變換，將得到的結(jié)果與原函數(shù)進(jìn)行對照。在眾多科學(xué)實驗中，當(dāng)需要將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成可視化的圖形時，這樣的實現(xiàn)和驗證步驟是必須的，目的是為了保證結(jié)果的精確性和可信度。

?import numpy as np
?import matplotlib.pyplot as plt
?
?
?def fourier_transform_1d(func, x, sort_results=False):
?
? ? ?"""
? ?  Computes the continuous Fourier transform of function `func`, following the physicist's convention
? ?  Grid x must be evenly spaced.
?
? ?  Parameters
? ?  ----------
?
? ?  - func (callable): function of one argument to be Fourier transformed
? ?  - x (numpy array) evenly spaced points to sample the function
? ?  - sort_results (bool): reorders the final results so that the x-axis vector is sorted in a natural order.
? ? ? ?  Warning: setting it to True makes the output not transformable back via Inverse Fourier transform
?
? ?  Returns
? ?  --------
? ?  - k (numpy array): evenly spaced x-axis on Fourier domain. Not sorted from low to high, unless `sort_results` is set to True
? ?  - g (numpy array): Fourier transform values calculated at coordinate k
? ?  """
? ? ?x0, dx = x[0], x[1] - x[0]
? ? ?f = func(x)
? ? ?
? ? ?g = np.fft.fft(f) # DFT calculation
?
? ? ?# frequency normalization factor is 2*np.pi/dt
? ? ?w = np.fft.fftfreq(f.size)*2*np.pi/dx
?
? ? ?# Multiply by external factor
? ? ?g *= dx*np.exp(-complex(0,1)*w*x0) 
? ? ?
? ? ?if sort_results: ? ?
? ? ? ? ?zipped_lists = zip(w, g)
? ? ? ? ?sorted_pairs = sorted(zipped_lists)
? ? ? ? ?sorted_list1, sorted_list2 = zip(*sorted_pairs)
? ? ? ? ?w = np.array(list(sorted_list1))
? ? ? ? ?g = np.array(list(sorted_list2))
? ? ? ? ?
? ? ?return w, g
?
?
?def inverse_fourier_transform_1d(func, k, sort_results=False):
? ? ?"""
? ?  Computes the inverse Fourier transform of function `func`, following the physicist's convention
? ?  Grid x must be evenly spaced.
?
? ?  Parameters
? ?  ----------
?
? ?  - func (callable): function of one argument to be inverse Fourier transformed
? ?  - k (numpy array) evenly spaced points in Fourier space to sample the function
? ?  - sort_results (bool): reorders the final results so that the x-axis vector is sorted in a natural order.
? ? ? ?  Warning: setting it to True makes the output not transformable back via Fourier transform
?
? ?  Returns
? ?  --------
? ?  - y (numpy array): evenly spaced x-axis. Not sorted from low to high, unless `sort_results` is set to True
? ?  - h (numpy array): inverse Fourier transform values calculated at coordinate x
? ?  """
? ? ?dk = k[1] - k[0]
? ? ?
? ? ?f = np.fft.ifft(func) * len(k) * dk /(2*np.pi)
? ? ?x = np.fft.fftfreq(f.size)*2*np.pi/dk
?
? ? ?if sort_results: ? ?
? ? ? ? ?zipped_lists = zip(x, f)
? ? ? ? ?sorted_pairs = sorted(zipped_lists)
? ? ? ? ?sorted_list1, sorted_list2 = zip(*sorted_pairs)
? ? ? ? ?x = np.array(list(sorted_list1))
? ? ? ? ?f = np.array(list(sorted_list2))
? ? ?return x, f

參考資料的價值

對于想要深入了解機(jī)器學(xué)習(xí)基礎(chǔ)計算和算法的學(xué)者來說，Numpy和SK-learn的資源就像是一座寶庫。這些資料不僅展示了方法的具體應(yīng)用，而且包含了詳細(xì)的解釋。例如，文章中許多數(shù)學(xué)公式和理論都來源于Numpy的相關(guān)資料。在眾多大專院校的學(xué)生進(jìn)行相關(guān)課題研究時，這些資料是必不可少的參考資料。

熟悉了Python中傅立葉變換連續(xù)函數(shù)的諸多要點，你是否已經(jīng)迫不及待，想要親自動手實踐？期待你能為這篇文章點贊、分享，并留下你的寶貴建議。

?N = 2048
?
?# Define the function f(x)
?f = lambda x: np.where((x >= -0.5) & (x <= 0.5), 1, 0)
?x = np.linspace(-1, 1, N) 
?plt.plot(x, f(x));